<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">

<html>

<head>

  <meta content="text/html;charset=windows-1252"

 http-equiv="Content-Type">

  <title></title>

</head>

<body bgcolor="#ffffff" text="#000000">

Thomas Noll a écrit :

<blockquote

 cite="mid:A1C3BBED-83BF-4775-A613-35B42B6F0443@cs.tu-berlin.de"

 type="cite"><font size="3"><font face="Helvetica">[...]</font></font>

  <div style="margin: 0px;"><font

 style="font-family: Helvetica; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 12px; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;"

 face="Helvetica" size="3">I

tried to silently circumnavigate a possible source of misunderstanding

[in particular for mathematicians like me] in the connection of the

terms "relation" and "transitive". Obviously you did not(!) mean

"transitive relation" in the mathematical sense: If X -> Y and Y

-> Z, then also X -> Z (with -> denoting the dominant vector

as a relation). But I still thought that you mean something in this

direction. </font></div>

</blockquote>

I should have been clearer from the outset about what I understand by

"transitivity" – especially on a list such as this, where the

mathematical paradigm is predominant. My understanding of transitivity

originates in linguistics (see

<a class="moz-txt-link-freetext" href="http://www.plm.paris-sorbonne.fr/Textes/NMTransitivite.pdf">http://www.plm.paris-sorbonne.fr/Textes/NMTransitivite.pdf</a>). The

linguistic concept of transitivity is a generalization of the

well-known notion of "transitive verb", denoting a verb that needs an

object without which it would remain incomplete. The case of transitive

verbs is not the only situation where linked expressions gain

completeness by virtue of the link itself. An extreme example is

that of case declension, where the form of a word is affected by its

being inscribed in a specific link.<br>

    I realize that this may not be a very common usage of

"transitivity", even in linguistics. I took it from Albert Sechehaye,

as mentioned in the paper refered to above. Transitivity so described

is akin to "compositionality", denoting the part of meaning in a

complex expression that results from the way the expression is built. I

prefered Sechehaye's notion of transitivity because it stressed the

incompleteness of the

elements considered alone, while the notion of compositionality refers

to a meaning added to elements that may nevertheless be complete

in themselves. But I do realize that the term "transitivity", as I use

it, may lead to misunderstandings and I will think of abandoning it

altogether.<br>

    I hope nevertheless that the above may have clarified my position.

To me, no chord can be said to have a specific harmonic function unless

it appears within a specific relation to other chords that clarify the

function. This is obvious

for isolated major or minor triads, of which the function remains

uncertain;

less perhaps for a major triad with added minor seventh [0 4 7 10],

which too

easily is considered a dominant "a priori". I have a similar opinion

about tonal tension: I may agree that a dissonant chord produces a

feeling of tension of some sort, but I claim that the tension cannot be

further defined before an interchordal relation is established that

releases it. To claim that a diminished fifth induces tensions that

must resolve through contraction on a third in true only if the

interval indeed resolves in this way – a diminished fifth obviously can

resolve as an augmented fourth, and to object that the

interval is not the same begs the answer: there is no way, before the

resolution, to decide whether [0 6] is a diminished 5th or an augmented

4th.<br>

     In short, I claim that both harmonic functions and tonal tensions

(or better tonal "attractions") are retrospective: they can be

determined only AFTER the progression

happened. In common-practice tonality, the common practice often feigns

the necessity. Even then, there is no reason, acoustic or cognitive or

whatever, that the leading tone should ascend to the tonic: the fact

merely is that it usually does so, and the habit is taken of for a

necessity.<br>

<blockquote

 cite="mid:A1C3BBED-83BF-4775-A613-35B42B6F0443@cs.tu-berlin.de"

 type="cite">

  <div style="margin: 0px;">If we treat the

dominant vector as a "generalized musical interval" we may construct

higher order vectors, such as a secondary dominant X ->-> Y,

tertiary dominant X ->->-> Y and so fourth. With these vectors

we may calculate concatenations -> + -> = ->->. -> +

<- = ų. So we obtain a group of intervals, ...,

<-<-<-<-, <-<-<-, <-<-, <-, ų, ->,

->->, ->->->, ->->->->, ...</div>

</blockquote>

What I call a "dominant vector" is not a musical interval (more

specifically, it is NOT the descending fifth V–>I), but rather a

class of intervals that can be considered equivalent according to a

limited set of substitution rules (for more about that, see

<a class="moz-txt-link-freetext" href="http://www.plm.paris-sorbonne.fr/Textes/NMVH+NR.pdf">http://www.plm.paris-sorbonne.fr/Textes/NMVH+NR.pdf</a>). At first thought,

this would seem to exclude the possibility of higher order vectors,

because these would depend on the actual realization of the

progression. But the question might deserve further consideration.<br>

    To make things clearer, let's consider this: a progression

vi–>ii–>V–>I is a concatenation of three dominant vectors,

while vi<–I is a single subdominant vector because vi in this second

case is but a substitution for IV. At first thought, these two

progressions are irreductible to each other. But this elementary

description takes no account of the mode (major or minor) of the

chords. From a more detailed point of view, vi-ii-V-I must include some

account of the change of mode, an account that would ressemble Rameau's

double emploi (ii-V being made possible on the presumption that ii=II;

further with vi-II=VI-II), but that might justify an equivalence

vi–>–>–>I = vi<–I. This deserves more consideration, but

not tonight.<br>

<blockquote

 cite="mid:A1C3BBED-83BF-4775-A613-35B42B6F0443@cs.tu-berlin.de"

 type="cite">

  <div style="margin: 0px;">[...] However I'm left

with this intermediate question: From your analytical applications I

tend to infer that the dominant vector is a relation between roots

rather than chords. Is this correct? Your explanation of the term

transitivity involves aspects of voice leading and therefore I'm not

sure. <br>

  </div>

</blockquote>

I would think that a relation between roots (Rameau's basse

fondamentale) is but a shorthand for a set of voice leading. V–>I,

in my view, implies both the upward movement of the leading tone (by a

semitone or possibly by a whole tone), and the descending resolution of

the dominant 7th – either explicitly or implicitly; this touches on

Riemann's idea of the feigned consonances. It is true that, at an

elementary level, my theory does not take the mode of the chords into

account. This, in turn, contradicts the dual view of harmony. Riemann,

the dualist, would have categorially opposed, say, V-I to v-i (he would

have written V–>I and v<–i, in my conventions). At an elementary

level, I consider X–>Y, x–>y, X–>y and x–>Y to be

equivalent. This has to do with the nature of the diatonic scale in a

pre-dodecaphonic conception, in which sharpening or flattening a tone

did not essentially modify it. These differences in "mode" make little

difference in the voice leading, anyway.<br>

    Yet, the more we progress on these matters, the more we realize

that mode must be taken into account. I say "we", here, to mean all

those who pursued the reflexion with me, because I trust that some of

my students have pushed the reflexion way beyond what I had done. <br>

   Our problem remains that the conditions in which we work in the

Sorbonne are not favorable to a regular publication of our results. For

the time being, some of our results are described at the adress<br>

<a class="moz-txt-link-freetext" href="http://www.plm.paris-sorbonne.fr/VH.shtml">http://www.plm.paris-sorbonne.fr/VH.shtml</a>.<br>

<br>

Yours,<br>

<br>

Nicolas Meełs<br>

<a class="moz-txt-link-abbreviated" href="mailto:nicolas.meeus@paris-sorbonne.fr">nicolas.meeus@paris-sorbonne.fr</a><br>

<a class="moz-txt-link-freetext" href="http://www.plm.paris-sorbonne.fr">http://www.plm.paris-sorbonne.fr</a><br>

</body>

</html>